Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，點A （0，4）．動點P從原點O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒2個單位的速度運動，同時動點Q從點A出發(fā)，沿y軸負方向以每秒1個單位的速度運動，以QO、QP為鄰邊構(gòu)造平行四邊形OQPB，在線段OP的延長線長取點C，使得PC=2，連接BC、CQ．設點P運動的時間為t（0＜t＜4）秒．
（1）求點B、C的坐標；（用含t的代數(shù)式表示）
（2）當t=1時，在平面內(nèi)存在一點D，使得以點Q、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出此時點D的坐標．
（3）當∠QPC=90°+∠α（其中α為△PBC的一個內(nèi)角）時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出QO=PB，進而得出點B，C的坐標即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出點D的三種情況得出坐標即可；
（3）根據(jù)α為△PBC的一個內(nèi)角的兩種情況進行分析解答即可．

解答 解：（1）設點P運動的時間為t，
可得：OP=2t，QO=OA-AQ=4-t，
所以點B的坐標為（2t，t-4），點C的坐標為（2+2t，0）；
（2）要使以點Q、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，
則可得點D的坐標有三種情況，

當QD∥BC，當t=1時，OD₁=PC=2，故點D₁的坐標為（-2，0）；
當QD∥BC，當t=1時，點B的坐標為（2，-3），3+3=6，故可得點D₂的坐標為（2，6）；
當QB∥DC，當t=1時，點C的坐標為（4，0），故可得點D₃的坐標為（6，-6）；
（3）因為當∠QPC=90°+∠α（其中α為△PBC的一個內(nèi)角）時，
可得：當∠PCB=α時，△QPO≌△PCB，OP=PC，即2t=2，解得：t=1；
當∠PBC=α時，△QPO～△PCB，可得：$\frac{PC}{BP}=\frac{QO}{OP}$，
即：$\frac{2}{4-t}=\frac{4-t}{2t}$，
解得：${t}_{1}=6-2\sqrt{5}，{t}_{2}=6+2\sqrt{5}$（舍去）．

點評 此題考查四邊形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進行分析，結(jié)合相似三角形和坐標的問題進行解答．