Question

12．如圖1，已知直線l₁∥l₂∥l₃，且l₁和l₂之間的距離為1，l₂和l₃之間的距離為2，點(diǎn)A、C分別在直線l₂和l₁上．
（1）利用尺規(guī)作出以AC為底的等腰△ABC，使得點(diǎn)B落在直線l₃上（保留作圖痕跡）；
（2）若（1）中得到的△ABC為等腰直角三角形，求AC的長；
（3）若（1）中得到的△ABC為等邊三角形，請直接寫出AC的長．

Answer 1

分析 （1）作AC的垂直平分線交l3于B點(diǎn)，則△ABC為所求；
（2）過點(diǎn)C作CD⊥l₃于D，過點(diǎn)A作AE⊥l₃于E，根據(jù)同角的余角相等求出∠ABE=∠BCD，然后利用“角角邊”證明△ABE和△BCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=BD，再利用勾股定理列式求出BC的長，然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的$\sqrt{2}$倍解答；
（3）作過點(diǎn)C作CD⊥l₃于D，過點(diǎn)A作AE⊥l₃于E，交l₁于F，設(shè)BD=y，BE=z，AB=AC=BC=x，利用勾股定理得到1+（y+z）²=x²，4+z²=x²，9+y²=x²，然后解方程組求出x即可．

解答 解：（1）如圖所示：△ABC即為所求；


（2）如圖，過點(diǎn)C作CD⊥l₃于D，過點(diǎn)A作AE⊥l₃于E，

則∠BCD+∠CBD=90°，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABE+∠CBD=180°-90°=90°，
∴∠ABE=∠BCD，
在△ABE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BDC}\\{∠ABE=∠BCD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD（AAS），
∴AE=BD=2，
而CD=1+2=3，
在Rt△BCD中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{26}$；

（3）作過點(diǎn)C作CD⊥l₃于D，過點(diǎn)A作AE⊥l₃于E，交l₁于F，
如圖，

設(shè)BD=y，BE=z，AB=AC=BC=x，
在Rt△ACF中，1+（y+z）²=x²，①
在Rt△ABE中，4+z²=x²，②
在Rt△CBD中，9+y²=x²，③
①-②得y²+2yz=3，則z=$\frac{3-{y}^{2}}{2y}$，
①-③得z²+2yz=8，
∴（$\frac{3-{y}^{2}}{2y}$）2+3-y²=8，
整理得3y⁴+26y²-9=0，解得y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（負(fù)根舍去），
∴z=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴x=$\sqrt{9+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
即AC的長為$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．