Question

3．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點(diǎn)Q是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長(zhǎng)線（如圖2）于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，求證：△APQ∽△ABC；
（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由兩對(duì)角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），證明△AQP∽△ABC；
（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，有兩種情況，需要分類討論．
①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）關(guān)系計(jì)算AP的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如題圖2所示．利用角之間的關(guān)系，證明點(diǎn)B為線段AP的中點(diǎn)，從而可以求出AP．

解答 （1）證明：∵PQ⊥AQ，
∴∠AQP=90°=∠ABC，
在△APQ與△ABC中，
∵∠AQP=90°=∠ABC，∠A=∠A，
∴△AQP∽△ABC．

（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．
∵∠QPB為鈍角，
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，
①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示．
∵∠QPB為鈍角，
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB=PQ，
由（1）可知，△AQP∽△ABC，
∴$\frac{PA}{AC}$=$\frac{PQ}{BC}$，即 $\frac{3-PB}{5}$=$\frac{PB}{4}$，解得：PB=$\frac{4}{3}$，
∴AP=AB-PB=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$；
（II）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如題圖2所示．
∵∠QBP為鈍角，
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB=BQ．
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，
∴∠AQB=∠A，
∴BQ=AB，
∴AB=BP，點(diǎn)B為線段AP中點(diǎn)，
∴AP=2AB=2×3=6．
綜上所述，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為 $\frac{5}{3}$或6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．