Question

13．已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，⊙P的半徑為1．
（1）判斷原點(diǎn)O與⊙P的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)⊙P過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求⊙P被y軸所截得的劣弧的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由直線y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，可求得點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)，繼而求得∠OBA=30°，然后過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，利用三角函數(shù)可求得OH的長(zhǎng)，繼而求得答案；
（2）當(dāng)⊙P過(guò)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，易得⊙P被y軸所截的劣弧所對(duì)的圓心角為：180°-30°-30°=120°，則可求得弧長(zhǎng)；同理可求得當(dāng)⊙P過(guò)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，⊙P被y軸所截得的劣弧的長(zhǎng)；
（3）首先求得當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，且位于x軸下方時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用對(duì)稱(chēng)性可以求得當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，且位于x軸上方時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）原點(diǎn)O在⊙P外．
理由：∵直線y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，-2$\sqrt{3}$），
在Rt△OAB中，tan∠OBA=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OBA=30°，
如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，
在Rt△OBH中，OH=OB•sin∠OBA=$\sqrt{3}$，
∵$\sqrt{3}$＞1，
∴原點(diǎn)O在⊙P外；

（2）如圖2，當(dāng)⊙P過(guò)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠OBA=30°，
∴⊙P被y軸所截的劣弧所對(duì)的圓心角為：180°-30°-30°=120°，
∴弧長(zhǎng)為：$\frac{120°×π×1}{180}$=$\frac{2π}{3}$；
同理：當(dāng)⊙P過(guò)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，弧長(zhǎng)同樣為：$\frac{2π}{3}$；
∴當(dāng)⊙P過(guò)點(diǎn)B時(shí)，⊙P被y軸所截得的劣弧的長(zhǎng)為：$\frac{2π}{3}$；

（3）如圖3，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，且位于x軸下方時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，
在PD⊥x軸，
∴PD∥y軸，
∴∠APD=∠ABO=30°，
∴在Rt△DAP中，AD=DP•tan∠DPA=1×tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OD=OA-AD=2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）；
當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，且位于x軸上方時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可以求得此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）；
綜上可得：當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，切點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）或（2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)的綜合題，考查了直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線，注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．