Question

20．關于x的二次函數(shù)y=-x²+bx+c經(jīng)過點A（-3，0），點C（0，3），點D為二次函數(shù)的頂點，DE為二次函數(shù)的對稱軸，E在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）DE上是否存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A和C點坐標代入y=-x²+bx+c得關于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；
（2）如圖，作PH⊥AD于H，先把拋物線一般式配成頂點式得到D（-1，4），E（-1，0），再利用勾股定理計算出AD，設P（-1，t），則PE=PH=t，DP=4-t，然后證明Rt△DPH∽Rt△DAE，再利用相似比得到關于t的方程，解方程求出t即可得到P點坐標．

解答 解：（1）把A（-3，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-9-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=-x²-2x+3；
（2）存在．
如圖，作PH⊥AD于H，
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線的對稱軸為直線x=-1，D（-1，4），E（-1，0），
∴AD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
設P（-1，t），則PE=PH=t，DP=4-t，
∵∠PDH=∠ADE，
∴Rt△DPH∽Rt△DAE，
∴$\frac{PH}{AE}$=$\frac{DP}{DE}$，即$\frac{t}{2}$=$\frac{4-t}{2\sqrt{5}}$，解得t=$\sqrt{5}$-1，
∴P點坐標為（-1，$\sqrt{5}$-1）．

點評 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．