Question

7．如圖，AB與⊙O相切于點C，OA，OB分別交⊙O于點D，E，$\widehat{CD}$=$\widehat{CE}$
（1）求證：OA=OB；
（2）已知AB=4$\sqrt{3}$，OA=4，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由切線的性質(zhì)可知∠ACO=90°，由于$\widehat{CD}$=$\widehat{CE}$，所以∠AOC=∠BOC，從而可證明∠A=∠B，從而可知OA=OB；
（2）由（1）可知：△AOB是等腰三角形，所以AC=2$\sqrt{3}$，從可求出扇形OCE的面積以及△OCB的面積

解答 解：（1）連接OC，
∵AB與⊙O相切于點C
∴∠ACO=90°，
由于$\widehat{CD}$=$\widehat{CE}$，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠A=∠B
∴OA=OB，

（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴sin∠COB=$\frac{BC}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠COB=60°，
∴∠B=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB=2，
∴扇形OCE的面積為：$\frac{60π×4}{360}$=$\frac{2π}{3}$，
△OCB的面積為：$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$
∴S_陰影=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π

點評 本題考查切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求證OA=OB，然后利用等腰三角形的三線合一定理求出BC與OC的長度，從而可知扇形OCE與△OCB的面積，本題屬于中等題型．