Question

19．定義：若四邊形中某個(gè)頂點(diǎn)與其它三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則這個(gè)四邊形叫做等距四邊形，這個(gè)頂點(diǎn)叫做這個(gè)四邊形的等距點(diǎn)．

（1）判斷：一個(gè)內(nèi)角為120°的菱形是等距四邊形．（填“是”或“不是”）
（2）如圖2，在5×5的網(wǎng)格圖中有A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷給出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找出C、D兩個(gè)格點(diǎn)，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為互不全等的“等距四邊形”，畫出相應(yīng)的“等距四邊形”，并寫出該等距四邊形的端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)．
端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{10}$  端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)為3$\sqrt{2}$
（3）如圖1，已知△ABE與△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB=∠DEC=90°，連結(jié)AD，AC，BC，若四邊形ABCD是以A為等距點(diǎn)的等距四邊形，求∠BCD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，由勾股定理即可得出答案；
（3）由SAS證明△AEC≌△BED，得出AC=BD，由等距四邊形的定義得出AD=AB=AC，證出AD=AB=BD，△ABD是等邊三角形，得出∠DAB=60°，由SSS證明△AED≌△AEC，得出∠CAE=∠DAE=15°，求出∠DAC=∠CAE+∠DAE=30°，∠BAC=∠BAE-∠CAE=30°，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB和∠ACD的度數(shù)，即可得出答案．

解答 解：（1）一個(gè)內(nèi)角為120°的菱形是等距四邊形；
故答案為：是；
（2）如圖2，圖3所示：
在圖2中，由勾股定理得：CD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$$\sqrt{10}$；
在圖3中，由勾股定理得：CD=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$；
故答案為：$\sqrt{10}$；3$\sqrt{2}$；                                                           
（3）解：連接BD．如圖1所示：
∵△ABE與△CDE都是等腰直角三角形，
∴DE=EC，AE=EB，
∠DEC+∠BEC=∠AEB+∠BEC，
即∠AEC=∠DEB，
在△AEC和△BED中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=CE}&{\;}\\{∠AEC=∠BED}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△BED（SAS），
∴AC=BD，
∵四邊形ABCD是以A為等距點(diǎn)的等距四邊形，
∴AD=AB=AC，
∴AD=AB=BD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=60°-45°=15°，
在△AED和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△AEC（SSS），
∴∠CAE=∠DAE=15°，
∴∠DAC=∠CAE+∠DAE=30°，∠BAC=∠BAE-∠CAE=30°，
∵AB=AC，AC=AD，
∴$∠ACB=\frac{{{{180}°}-{{30}°}}}{2}={75°}$，$∠ACD=\frac{{{{180}°}-{{30}°}}}{2}={75°}$，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=75°+75°=150°．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了等距四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．