Question

14．如圖，在矩形ABCD中，AB=16，AD=10，E是線段AB上一點(diǎn)，連接CE，現(xiàn)將∠B向右上方翻折，折痕為CE，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處．
（1）當(dāng)點(diǎn)P落在CD上時，BE=10；當(dāng)點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部時，BE的取值范圍是0＜BE＜10．
（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時：
①請在備用圖1中畫出翻折后的圖形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）
②連接PD，求證：PD∥AC；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABCD的對稱軸上時，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)得到推出△BCE是等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；
（2）①由題意畫出圖形即可；
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠PAC=∠DCA，設(shè)AP與CD相交于O，于是得到OA=OC，求得∠OAC=∠OPD，根據(jù)平行線的判定定理得到結(jié)論；
（3）分兩種情況，由折疊的性質(zhì)用BE表示出AE，最后用勾股定理即可．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在CD上時，如圖1，

∵將∠B向右上方翻折，折痕為CE，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，
∴∠BCE=∠ECP=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=BC=AD=10，
當(dāng)點(diǎn)P在矩形內(nèi)部時，BE的取值范圍是0＜BE＜10；
故答案為：10，0＜BE＜10；

（2）①補(bǔ)全圖形如圖2所示，

②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時，如圖3，

由折疊得，AB=PC，
在△ADC與△CPA中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=CD}\\{∠ADC=∠APC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CPA，
∴∠PAC=∠DCA，
設(shè)AP與CD相交于O，則OA=OC，
∴OD=OP，∠ODP=∠OPD，
∵∠AOC=∠DOP，
∴∠OAC=∠OPD
∴PD∥AC，
（3）當(dāng)點(diǎn)P在豎直的對稱軸上時，如備用圖1，

∴CG=$\frac{1}{2}$BC=5，
由折疊得，BE=PE，PC=BC=10，
在Rt△PCG中，根據(jù)勾股定理得，PG=5$\sqrt{3}$，
過點(diǎn)E作EF⊥PG于F，
∴FG=BE，∴PF=PG-FG=5$\sqrt{3}$-BE，
在Rt△PEF中，根據(jù)勾股定理得，BE²-（5$\sqrt{3}$-BE）²=25，
∴BE=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．
當(dāng)點(diǎn)P在水平的對稱軸上時，如備用圖2，

∴BG=CH=$\frac{1}{2}$AB=8，
由折疊知，PE=BE，PC=BC=10，
在Rt△CPH中，PH=6，
∴PG=4，
在Rt△PEG中，EG=8-BE，PE=BE，
根據(jù)勾股定理得，BE²-（8-BE）²=16
∴BE=5，
即：滿足條件的BE的長為5或$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理折疊的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．