Question

8．如圖，在△ABC中，點D、E分別是AC、AB上的點，AC=7，∠EDC=60°，∠ABC=120°，AE=BC，sinA=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，則四邊形DEBC的面積為$\frac{150\sqrt{3}}{49}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意做出合適的輔助線，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理可以求得CF、BF、AB的長，然后根據(jù)三角形相似可以解答本題．

解答 解：作CF⊥AB交AB的延長線于點F，如右圖所示，
∵AC=7，∠CFA=90°，sinA=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
∴CF=AC•sinA=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵∠ABC=120°，AE=BC，
∴∠CBF=60°，
∴BC=$\frac{CF}{sin60°}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=3$，BF=$\frac{CF}{tan60°}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{3}{2}$，
∴AF=$\sqrt{A{C}^{2}-C{F}^{2}}=\frac{13}{2}$，AE=3，
∴AB=AF-BF=$\frac{13}{2}-\frac{3}{2}=5$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{AB•CF}{2}=\frac{5×\frac{3\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$，
∵∠CDE=60°，
∴∠ADE=120°，
∴∠ADE=∠ABC，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△BAC，
∴$（\frac{AE}{AC}）^{2}=\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$，
即$（\frac{3}{7}）^{2}=\frac{{S}_{△ADE}}{\frac{15\sqrt{3}}{4}}$，
解得，S_△ADE=$\frac{135\sqrt{3}}{196}$，
∴四邊形DEBC的面積為：$\frac{15\sqrt{3}}{4}-\frac{135\sqrt{3}}{196}$=$\frac{150\sqrt{3}}{49}$，
故答案為：$\frac{150\sqrt{3}}{49}$．

點評 本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用銳角三角函數(shù)和三角形相似解答．