Question

8．如圖，邊長(zhǎng)為2的菱形紙片ABCD中，∠A=60°，將該紙片折疊，EF為折痕，點(diǎn)A、D分別落在A′、D′處．若A′D′經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且D′F⊥CD，則DF的長(zhǎng)為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$-2
• B． 4-2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 延長(zhǎng)FC、A′D′相交于點(diǎn)G，根據(jù)菱形的對(duì)角相等求出∠BCD=∠A=60°，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠A′D′F=∠D，再求出∠FD′G=60°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠G=30°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CBG=30°，從而得到∠CBG=∠G，根據(jù)等角對(duì)等邊求出BC=CG，然后利用∠G的正切值列式整理即可Q求出$\frac{FD}{FC}$的值，然后根據(jù)菱形的邊長(zhǎng)為2，即DF+FC=2，進(jìn)而可求DF的值．

解答 解：如圖，延長(zhǎng)FC、A′D′相交于點(diǎn)G，
∵菱形ABCD中，∠A=60°，
∴∠BCD=∠A=60°，∠D=180°-60°=120°，
由翻折的性質(zhì)得，∠A′D′F=∠D=120°，F(xiàn)D′=FD，
∴∠FD′G=180°-∠A′D′F=180°-120°=60°，
∵D′F⊥CD，
∴∠G=90°-∠FD′G=90°-60°=30°，
∴∠CBG=∠BCD-∠G=60°-30°=30°，
∴∠CBG=∠G，
∴BC=CG，
在Rt△FD′G中，tan∠G=$\frac{FD′}{FG}$，
∵FG=FC+CG=FC+BC=FC+CD=FC+FD+FC=2FC+FD，
∴tan30°=$\frac{FD}{2FC+FD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{FD}{FC}=\sqrt{3}+1$，
∴FD=（$\sqrt{3}+1$）FC，
∵FD+FC=2，
即（$\sqrt{3}$+1）FC+FC=2，
解得：FC=4-2$\sqrt{3}$，
∴FD=2-FC=2$\sqrt{3}$-2．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．