Question

3．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=30°，點(diǎn)E是射線DA上一動(dòng)點(diǎn)，把△CDE沿CE折疊，其中點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，連接D′B，若△D′BC為等邊三角形，則DE=2$\sqrt{3}$-2或$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得：∠D=∠ABC=30°，∠BCD=150°，然后根據(jù)△D′BC為等邊三角形，可得∠BCD′=60°，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：△DCE≌△D′CE，進(jìn)而可得∠DCE=45°，然后過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD，垂足為F，然后解直角三角形DEF即可求出DE的值．

解答 解：①如圖（1）所示，當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上時(shí)，

∵四邊形ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=30°，
∴CD=AB=2，∠D=∠A=30°，∠BCD=150°，
∵△D′BC為等邊三角形，
∴∠BCD′=60°，
∴∠DCD′=90°，
∵△CDE沿CE折疊，得到△CD′E，
∴△DCE≌△D′CE，
∴∠DCE=$\frac{1}{2}∠$DCD′=45°，
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD，垂足為F，
則∠CFE=90°，
∴∠CEF=∠DCE=45°，
∴CF=EF，
在Rt△DEF中，∠D=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$DE，
設(shè)EF=x，則DE=2x，CF=x，
由勾股定理可得：FD=$\sqrt{3}$x，
∵CF+FD=CD=2，
即x+$\sqrt{3}x$=2，
解得：x=$\sqrt{3}-1$，
∴DE=2x=2$\sqrt{3}$-2．
②當(dāng)點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2），過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F

由折疊可知∠ED′C=∠D=30°，又∠BD′C=60°，所以D′E為∠BD′C的平分線
又△BD′C是等邊三角形，所以D′E⊥BC．
又AD∥BC，所以D′E⊥AD
因?yàn)椤螦BC=30°，所以∠BAF=30°
又AB=2，所以AD=$\sqrt{3}$，
令D′E與BC的交點(diǎn)為G，則易知EF=BG=$\frac{1}{2}$BC=1
所以AE=$\sqrt{3}$-1，
所以此時(shí)DE=$\sqrt{3}$+1．
故答案為：2$\sqrt{3}$-2或$\sqrt{3}$+1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了菱形的性質(zhì)，折疊問(wèn)題，解直角三角形及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：添加輔助線，構(gòu)造兩個(gè)特殊的直角三角形，然后解直角三角形即可．