Question

1．如圖①，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點(diǎn)P從PB處開始按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，PM交邊AB（或AD）于點(diǎn)E，PN交邊AD（或CD）于點(diǎn)F，當(dāng)PN旋轉(zhuǎn)至PC處時(shí)，∠MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止．
（1）特殊情形：如圖②，發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM過點(diǎn)A時(shí)，PN也恰巧過點(diǎn)D，此時(shí)，△ABP∽△PCD（填“≌”或“～”）；
（2）類比探究：如圖③，在旋轉(zhuǎn)過程中，$\frac{PE}{PF}$的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，即可判定△ABP∽△PCD；
（2）過點(diǎn)F作FG⊥BC于G，則∠B=∠FGP，先判定△EBP∽△GPF，得出$\frac{PE}{PF}$=$\frac{PB}{FG}$，再根據(jù)$\frac{PB}{FG}$=$\frac{1}{2}$，即可得出$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）如圖②所示，∵∠MPN=90°，∠B=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°=∠CPD+∠APB，
∴∠BAP=∠CPD，
又∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD；
故答案為：∽；

（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，$\frac{PE}{PF}$的值為定值．
證明：如圖③所示，過點(diǎn)F作FG⊥BC于G，則∠B=∠FGP，
∵∠MPN=90°，∠B=90°，
∴∠BEP+∠EPB=90°=∠CPF+∠EPB，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△EBP∽△GPF，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{PB}{FG}$，
∵矩形ABGF中，F(xiàn)G=AB=2，而PB=1，
∴$\frac{PB}{FG}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{PE}{PF}$的值為定值$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算．