Question

3．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC與BD互相垂直，且BC-AD=4，cos∠DBC=0.8，AC=6．求BC的長(zhǎng)及梯形的面積．

Answer 1

分析 首先過點(diǎn)D作DF∥AC，交BC于點(diǎn)F，易得四邊形ACFD是平行四邊形，△BDF是直角三角形，然后由cos∠DBC=0.8，AC=6，求得BF與BD的長(zhǎng)，又由BC-AD=4，求得AD與BC的長(zhǎng)，然后由S_梯形ABCD=S_△ABD+S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•AC，求得答案．

解答 解：過點(diǎn)D作DF∥AC，交BC于點(diǎn)F，
∵AD∥BC，
∴四邊形ACFD是平行四邊形，
∴CF=AD，DF=AC=6，
∵AC⊥BD，
∴DF⊥BD，
∵cos∠DBC=0.8，
∴sin∠DBC=0.6，
∴BF=$\frac{DF}{sin∠DBC}$=$\frac{6}{0.6}$=10，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-D{F}^{2}}$=8，
∵BF=BC+CF=BC+AD=10，BC-AD=4，
∴BC=7，AD=3，
∴S_梯形ABCD=S_△ABD+S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•AE+$\frac{1}{2}$BD•CE=$\frac{1}{2}$BD（AE+CE）=$\frac{1}{2}$BD•AC=$\frac{1}{2}$×8×6=24．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．