Question

1．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BD=10，射線AM∥BD，點P是AM上一個動點，過點P作AB的平行線，交BD于點E．
（1）求證：PD=EC；
（2）當(dāng)平行四邊形PECD為菱形時，求sin$\frac{1}{2}$∠EPD的值和ED的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)PE=CD，PE∥CD，判定四邊形CDPE是平行四邊形，即可得出PD=EC；
（2）連接CP，根據(jù)四邊形PECD為菱形，判定△CDF∽△BDC，即可得到sin$\frac{1}{2}$∠EPD=sin∠DCF=$\frac{DF}{DC}$=$\frac{3}{5}$，再根據(jù)射影定理即可得到ED的長．

解答 解：（1）∵AM∥BD，PE∥AB，
∴四邊形ABEP是平行四邊形，
∴AB=PE，
又∵AB=CD，AB∥CD，
∴PE=CD，PE∥CD，
∴四邊形CDPE是平行四邊形，
∴PD=EC；

（2）如圖所示，連接CP，
∵四邊形PECD為菱形，
∴CP⊥DE，∠DCF=∠DPF=$\frac{1}{2}$∠DPE，
∵∠DFC=∠DCB，∠CDF=∠BDC，
∴△CDF∽△BDC，
∴$\frac{DF}{DC}$=$\frac{DC}{DB}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴sin$\frac{1}{2}$∠EPD=sin∠DCF=$\frac{DF}{DC}$=$\frac{3}{5}$，
∵Rt△BCD中，CF⊥BD，
∴CD²=DF×DB，即36=DF×10，
∴DF=3.6，
∴DE=2DF=7.2，
即ED的長為7.2．

點評 本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)的運用，解題時注意：菱形的對角線互相垂直平分．