Question

2．如圖，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，∠A=100°，點(diǎn)D在AC邊上，∠ABD=30°，則AD的長為$\frac{{a}^{2}}$．

Answer 1

分析 以BC為邊在△ABC的下面作等邊三角形BCE，連接AE，由等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)得出AE⊥BC，CE=BC=b，∠BCE=60°，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠ACB=∠ABC=50°，∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=50°，求出∠ADB=∠CAE，∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠BAC，證出△ABD∽△CAE，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出答案．

解答 解：以BC為邊在△ABC的下面作等邊三角形BCE，連接AE，如圖所示：
則AE⊥BC，CE=BC=b，∠BCE=60°，
∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠ACB=∠ABC=（180°-1100°）÷2=50°，∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=50°，
∵∠ABD=30°，
∴∠ADB=180°-∠BAC-∠ABD=50°，
∴∠ADB=∠CAE，∠ACE=∠ACB+∠BCE=100°=∠BAC，
∴△ABD∽△CAE，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{CE}$，即$\frac{AD}{a}=\frac{a}$，
解得：AD=$\frac{{a}^{2}}$；
故答案為：$\frac{{a}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．