Question

15．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2$\sqrt{3}$+2，四邊形BDEF是△ABC的內(nèi)接正方形（點(diǎn)D、E、F在三角形的邊上）．則此正方形的周長是4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)正方形的邊長為x，由銳角三角函數(shù)可知CD=$\frac{DE}{tan60°}$=$\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，易得BC=x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，由含30°直角三角形的性質(zhì)可得BC=$\frac{1}{2}$AC，易得x，可得結(jié)果．

解答 解：設(shè)正方形的邊長為x，
∵四邊形BDEF是△ABC的內(nèi)接正方形，
∴△EDC為直角三角形，
∴CD=$\frac{DE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵∠A=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}×（2\sqrt{3}+2）$=$\sqrt{3}+1$，
∴x$+\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\sqrt{3}+1$
解得：x=$\sqrt{3}$，
∴正方形的周長是4$\sqrt{3}$，
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，設(shè)正方形的邊長為x，利用方程思想是解答此題的關(guān)鍵．