Question

7．如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊BC上的動點(diǎn)，PM⊥BE，PN⊥CE，垂足分別是M、N．
求：當(dāng)AB和AD應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形PMEN是矩形？請說明理由．

Answer 1

分析 由SAS證明△ABE≌△DCE，得出∠AEB=∠DEC，由矩形的性質(zhì)得出∠BEC=90°，得出∠AEB=∠DEC=45°證出AE=DE=DC，即AD=2AB．

解答 解：當(dāng)AD=2AB時．四邊形PMEN為矩形；理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
又∵點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)．
∴AE=DE，
在△ABE和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠A=∠D}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴∠AEB=∠DEC，
∵四邊形PMEN為矩形，
∴∠BEC=90°，
∴∠AEB=∠DEC=45°
∴AE=DE=DC，即AD=2AB．
∴當(dāng)AD=2AB時；四邊形PMEN為矩形．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．