Question

4．如圖，已知A，B兩點的坐標(biāo)分別為（2$\sqrt{3}$，0），（0，10），M是△AOB外接圓⊙C上的一點，且∠AOM=30°，則點M的坐標(biāo)為（4$\sqrt{3}$，4）．

Answer 1

分析 由勾股定理求出AB的長，由圓周角定理得出AB為直徑，求出半徑和圓心C的坐標(biāo)，過點C作CF∥OA，過點P作ME⊥OA于E交CF于F，作CN⊥OE于N，設(shè)ME=x，得出OE=$\sqrt{3}$x，在△CMF中，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：∵A，B兩點的坐標(biāo)分別為（2$\sqrt{3}$，0），（0，10），
∴OB=10，OA=2$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直徑，CM=2$\sqrt{7}$，
∴Rt△AOB外接圓的圓心為AB中點，
∴C點坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，5），
過點C作CF∥OA，過點M作ME⊥OA于E交CF于F，作CN⊥OE于N，如圖所示：
則ON=AN=$\frac{1}{2}$OA=$\sqrt{3}$，
設(shè)ME=x，
∵∠AOM=30°，
∴OE=$\sqrt{3}$x
∴∠CFM=90°，
∴MF=5-x，CF=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，CM=2$\sqrt{7}$，
在△CMF中，根據(jù)勾股定理得：（$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$）²+（5-x）²=（2$\sqrt{7}$）²，
解得：x=4或x=0（舍去），
∴OE=$\sqrt{3}$x=4$\sqrt{3}$
故答案為：（4$\sqrt{3}$，4）．

點評 本題考查的是圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握圓周角定理，由勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵．