Question

19．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=-1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．
（1）若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸x=-1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出關(guān)于a、b、c的方程組，求得a、b、c的值，即可得出拋物線的解析式，根據(jù)拋物線的對稱性得出點B的坐標(biāo)，再設(shè)出直線BC的解析式，把點B、C的坐標(biāo)代入即可得出直線BC的解析式；
（2）點A關(guān)于對稱軸的對稱點為點B，連接BC，設(shè)直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，則此時MA+MC的值最小，再求得點M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解之得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²-2x+3，
∵對稱軸為x=-1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），
∴B（-3，0），
∴把B（-3，0）、C（0，3）分別代入直線y=mx+n，
得$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3；
（2）設(shè)直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，則此時MA+MC的值最�。�
把x=-1代入直線y=x+3得，y=2
∴M（-1，2）．
即當(dāng)點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標(biāo)為（-1，2）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點問題，軸對稱-最短路線問題，求得拋物線的解析式和直線的解析式是解題的關(guān)鍵．