Question

6．如圖，二次函數(shù)y=-x²-x+6的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是該圖象上一點(diǎn)，且滿足∠ABP=∠ACB，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-2，4）或（-4，-6）．

Answer 1

分析 認(rèn)真審題，首先過點(diǎn)C作CQ∥PB，利用△ACB∽△AQC，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再求出直線PB的解析式，進(jìn)而得解．

解答 解：當(dāng)-x²-x+6=0時(shí)，
x=2或x=-3，
∵A在B的左側(cè)，
∴A（-3，0），B（2，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=6，
∴C（0，6），
Rt△AOC中，AO=3，CO=6，
AC=$\sqrt{A{O}^{2}+C{O}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
如圖，過點(diǎn)C作CQ∥PB，

∴∠ABP=∠AQC，
∵∠ABP=∠ACB，
∴∠ACB=∠AQC，
又∵∠CAB=∠CAQ，
∴△ACB∽△AQC，
∴$\frac{AC}{AQ}=\frac{AB}{AC}$，
即：AB•AQ=AC²，
設(shè)BO=x，
則：AQ=OA+OB=3+x，
AB=3+2=5，
∴45=5（3+x），
解得：x=6，
∴Q（6，0），
設(shè)直線CQ的解析式為：y=kx+b，
把點(diǎn)C（0，6）和點(diǎn)Q（6，0）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線CQ的解析式為：y=-x+6，
∴可設(shè)直線PB的解析式為：y=-x+c，
把點(diǎn)B（2，0）代入可得：0=-2+c，
解得：c=2，
∴直線PB的解析式為：y=-x+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-{x}^{2}-x+6}\end{array}\right.$，
解得：x=-2或x=2（舍），
∴點(diǎn)P（-2，4）．
由對稱性可知，（-4，-6）也是符號(hào)要求的點(diǎn)，
故答案為（-2，4）或（-4，-6）．

點(diǎn)評 本題主要考查了相似三角形與二次函數(shù)結(jié)合的問題，以及直線的解析式的求法，是綜合性比較強(qiáng)的題目，注意認(rèn)真總結(jié)．