Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)B在x軸上，其坐標(biāo)為（6，0），菱形的面積為18$\sqrt{3}$
（1）寫出A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)并求出過B、C兩點(diǎn)的直線l的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）P為（1）中l(wèi)上動點(diǎn)．橫坐標(biāo)為m、Q、R均在l的左側(cè)，△PQR與△AOB全等且PQ∥x軸，求△PQR與菱形OABC重疊部分的面積S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（4）直接寫出△PQR與（2）中的拋物線有兩個公共點(diǎn)時(shí)m的取值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接AC交x軸于K．根據(jù)菱形的面積公式，求出AC的長，即可求出A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式．
（2）可以假設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）²+3$\sqrt{3}$，把（0，0）代入求出a即可．
（3）分兩種情形①當(dāng)3＜m＜6時(shí)，重疊部分是四邊形PMOR，②如圖3中，當(dāng)6≤m＜9時(shí)，重疊部分是△AQM．分別求解即可．
（4）如圖4中，只要求出圖中M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)即可根據(jù)圖象解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，連接AC交x軸于K．

∵四邊形ABCD是菱形，面積為18$\sqrt{3}$，OB=6，
∴AC⊥OB，AK=KC，OK=KB，
∴$\frac{1}{2}$•OB•AC=18$\sqrt{3}$，
∴AC=6$\sqrt{3}$，
∴AK=3$\sqrt{3}$，
∴tan∠BAK=$\frac{BK}{AK}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAK=∠OAK=30°，
∴∠OAB=60°，
∴△OAB，△OBC是等邊三角形，
∴A（3，3$\sqrt{3}$），C（3，-3$\sqrt{3}$），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-3\sqrt{3}}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-6\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\sqrt{3}$x-6$\sqrt{3}$．

（2）∵拋物線的頂點(diǎn)為（3，3$\sqrt{3}$），
∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）²+3$\sqrt{3}$，把（0，0）代入得到a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）²+3$\sqrt{3}$，
即y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+2$\sqrt{3}$x．

（3）如圖2中，∵△AOB是等邊三角形，△PQR≌△BOA，PQ∥OB，
∴∠CPM=∠OBC=60°，∠ABC=∠RPC=120°，
∴AB∥PR，PQ∥BC，R、Q在直線OA上，
①當(dāng)3＜m＜6時(shí)，重疊部分是四邊形PMOR，

∴S=S_△PQR-S_△OMQ=9$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（12-2m）²=-$\sqrt{3}$m²+12$\sqrt{3}$m-27$\sqrt{3}$．
②如圖3中，當(dāng)6≤m＜9時(shí)，重疊部分是△AQM．

S=S_△AQM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$QM²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（18-2m）²=$\sqrt{3}$m²-18$\sqrt{3}$m+81$\sqrt{3}$．
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}{m}^{2}+12\sqrt{3}m-27\sqrt{3}}&{（3＜m＜6）}\\{\sqrt{3}{m}^{2}-18\sqrt{3}m+81\sqrt{3}}&{（6≤m＜9）}\end{array}\right.$．

（4）如圖4中，

由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-6\sqrt{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+2\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-9\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線BC與拋物線的交點(diǎn)M坐標(biāo)為（-3，-9$\sqrt{3}$）．
觀察圖象可知，當(dāng)△PQR與（2）中的拋物線有兩個公共點(diǎn)時(shí)m的取值：-3＜m＜9．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，多邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會分類討論，需要一定的畫圖能力，屬于中考壓軸題．