Question

6．已知，AB∥DC，E為BC邊的中點，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F．
（1）試探究線段AB與AF，CF之間的等量關系，并證明你的結論；
（2）若∠EAD=90°，AB=5，CF=1，求DF的長度．

Answer 1

分析 （1）延長AE、DF交于點M，證明△ABE≌△MCE，AB=MC，再由∠BAE=∠EAF，∠BAE=∠M，得出△AMF是等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+CF；
（2）由（1）求出AF，再證明DF=AF即可．

解答 解：（1）延長AE交DF的延長線于點M，如圖所示：
∵E為BC的中點，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠M，
在△ABE和△MCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠MEC}&{\;}\\{BE=CE}&{\;}\\{∠B=∠MCE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△MCE（ASA），
∴AB=MC，
∵∠BAE=∠EAF，
∴∠EAF=∠M，
∴MF=AF，
∵MC=MF+CF，
∴AB=AF+CF；
（2）由（1）得：AF=AB-CF=5-1=4，
∵∠EAD=90°，
∴∠DAF+∠EAF=90°，
∴2∠DAF+2∠EAF=180°，
∵AB∥DC，
∴∠BAD+∠D=180°，
即∠BAE+∠EAF+∠DAF+∠D=180°，
∴2∠EAF+∠DAF+∠D=180°，
∴∠DAF=∠D，
∴DF=AF=4．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定與性質；本題有一定難度，特別是（2）中，需要通過作輔助線證明等腰直角三角形和等腰三角形才能得出結果．