Question

10．如圖，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過A（4，0），B（1，3）兩點，點B、C關(guān)于拋物線的對稱軸l對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，是否存在這樣的點M、N，使得以點M為直角頂點的△CNM是等腰直角三角形？若存在，請求出點M、N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得MH，HN的值，根據(jù)點的坐標，可得答案．

解答 解：（1）把點A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax²+bx中，
得  $\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{a+b=3}\end{array}\right.$
 解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+4x．
（2）∵拋物線y=-x²+4x的對稱軸為x=2，
又點B的坐標為（1，3），點B、C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∴點C的坐標為（3，3）．
假設(shè)存在這樣的點M、N，使得以點M為直角頂點的△CNM是等腰直角三角形．
①當M在x軸上方時，如圖1
，
∵∠CMB+∠HMN=90°，∠HMN+∠HNM=90°，
∴∠CMB=∠MNH．
在△CBM和△MHN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMB=∠MNH}\\{∠CBM=∠MHN}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
△CBM≌△MHN（AAS），
∴BC=MH=2，BM=HN=3-2=1，
∴M（1，2），N（2，0）．
②M在x軸下方時，如圖2
，
∵∠CMB+∠HMN=90°，∠HMN+∠HNM=90°，
∴∠CMB=∠MNH．
在△CBM和△MHN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMB=∠MNH}\\{∠CBM=∠MHN}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
△CBM≌△MHN（AAS），
∴HM=CB=2，HN=MB=2+3=5，
∴M（1，-2），N（-4，0）．
綜上所述，存在這樣的點M（1，2），N（2，0）或M（1，-2），N（-4，0）使得以點M為直角頂點的△CNM是等腰直角三角形．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法，解（2）的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出MH，HN的值，要分類討論，以防遺漏．