Question

14．正△ABC，在邊AB、BC、CA的正中間分別取點(diǎn)L、M、N，在邊AL、BM、CN上分別取點(diǎn)P、Q、R，使LP=MQ=NR，當(dāng)PM和RL、PM和QN、QN和RL的相交點(diǎn)分別是X、Y、Z時(shí)，使XY=XL，這時(shí)，△XYZ的面積是△ABC的幾分之幾？請(qǐng)寫出思考過程．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)稱性確定△XYZ是等邊三角形，設(shè)出△XYZ的面積，證明△NYM的面積為△XYZ的面積的2倍，表示出△ABC的面積，得到答案．

解答 答：△XYZ的面積是△ABC的面積的$\frac{1}{28}$．
證明：連接LM、MN、LN，
∵BP=CQ=AR，∠A=∠B=∠C，BM=CN=AL，
∴△PBM≌△QCN≌△RAL，
∴∠BPM=∠CQN=∠ARL，
根據(jù)對(duì)稱性可知，△XYZ是等邊三角形，
又∵LP=MQ=NR，
∴△XPL≌△YQN≌△ZRN，
LX=YM=ZN=XY=XZ=YZ
設(shè)△XYZ的面積為a，
∵Z是YN的中點(diǎn)，
∴N到PM的距離為Z到PM的距離的2倍，
∴△NYM的面積為2a，
∵△PLM≌△QMN≌△RNL，
∴△XLM≌△YMN≌△ZNL，
∴△MNL的面積為7a，
△ABC的面積為28a，
∴△XYZ的面積是△ABC的面積的$\frac{1}{28}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)和三角形確定的判定和性質(zhì)，設(shè)出△XYZ的面積，通過三角形確定和面積公式得到△ABC的面積是解題的關(guān)鍵，解答本題時(shí)，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯思維能力和推理能力．