Question

12．如圖①所示在等邊△ABC中，P為AB的中點(diǎn)，Q為AC的中點(diǎn)，R為BC的中點(diǎn)，M是直線BC上任意一點(diǎn)，△PMS為等邊三角形，（點(diǎn)M的位置改變時，△PMS也隨之整體移動）
（1）若AB的長為6cm，連接PQ、PR、QR得到△PQR，請求出△PQR的面積；
（2）當(dāng)M在線段RC上時，請證明：RM=QS；
（3）如圖②，點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時，其他條件不變，第（2）題的結(jié)論中RM與QS的數(shù)量關(guān)系是否依然成立？（請直接寫出結(jié)論，不必證明）請你利用圖②來判斷點(diǎn)R是否在直線QS上？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的邊求出△ABC的面積，再由三條中位線圍成的△PQR面積是△ABC的四分之一即可；
（2）判斷出∠SPQ=∠MPR，再由兩個等邊三角形的邊，判斷出△PRM≌△PQS，即可求解；
（3）由（2）的全等的方法判斷出△PBM≌△PRS，從而得到點(diǎn)R，Q，S，在同一直線上，繼而（2）結(jié)論成立．

解答 解：（1）如圖①，連接PQ，PR，RQ，

∵等邊三角形ABC，AB=6，
∴高h(yuǎn)=3$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×h=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，
∵P，Q，R是等邊三角形的三邊中點(diǎn)，
∴S_△PQR=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$；
（2）如圖①，連接PR，PQ，SQ，

∵P，Q，R是等邊三角形的三邊中點(diǎn)，
∴AB=BC=AC，∠A=∠C=∠ABC，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BC，PR=$\frac{1}{2}$AC，RQ=$\frac{1}{2}$AB，
∴PQ=PR=RQ，
∵等邊三角形PMS，
∴PM=PS=MS，∠QPR=∠SPM=60°，
∴∠QPR-∠QPM=∠SMP-∠QPM，
∴∠QSP=∠RPM，
∵PQ=PR，PS=PM，
∴△PRM≌△PQS，
∴QS=RM；
（3）成立，如圖②，連接PR，PQ，RS，QR，

同（2）方法，得：△PBM≌△PRS，
∴∠PRS=∠PBM=120°，
∵∠PRQ=60°，
∴∠SRQ=180°，
∴點(diǎn)S，R，Q在同一條直線上，
∴R在SQ的直線上．
由（2）得∴△PRM≌△PQS，
∴QS=RM；

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的全等的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，判定三點(diǎn)共線的方法，解本題的關(guān)鍵是得到∠QSP=∠RPM．