Question

2．△ABC中，AD是BC邊上的高，BD=3，CD=1，AD=2，P、Q、R分別是BC、AC邊上的動點，則△PQR周長的最小值為$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．

Answer 1

分析 過A作AP⊥BC于P（即D點），分別作D關(guān)于AB，AC的對稱點P₁，P₂，連接P₁，P₂，交AB，AC于Q，R，則△PQR就是周長最短的三角形，其周長為P₁P₂的長，根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{13}$，AC=$\sqrt{5}$，根據(jù)射影定理得到AD²=AM•AB，求得AN=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，同理AN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，推出△AMN∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求得MN=$\frac{16\sqrt{65}}{65}$，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：過A作AP⊥BC于P（即D點），分別作D關(guān)于AB，AC的對稱點P₁，P₂，連接P₁，P₂，交AB，AC于Q，R，
∵∠AMP=∠ANP=90°，
∴點M，N在以AP為直徑的圓上，要使MN最小，即使直徑AP最小，故當(dāng)點P與點O重合時，AP最小，
則△PQR就是周長最短的三角形，其周長為P₁P₂的長，
∵AD⊥BC，BD=3，CD=1，AD=2，
∴AB=$\sqrt{13}$，AC=$\sqrt{5}$，
∵DM⊥AB，
∴AD²=AM•AB，
∴AN=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，同理AN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵$\frac{AN}{AB}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{13}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{65}$，$\frac{AM}{AC}$=$\frac{\frac{4\sqrt{13}}{13}}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{65}$，
∴$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$，
∵∠BAC=∠NAM，
∴△AMN∽△ACB，
∴$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AC}$，
∴MN=$\frac{16\sqrt{65}}{65}$，
∴P₁P₂=2MN=$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．
故答案為：$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．

點評 本題考查了軸對稱-最短距離問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．