Question

11．如圖，拋物線C₁：y=a（x-1）²經(jīng)過點A（3，4）．
（1）求a的值；
（2）將拋物線C₁向下平移k（k＞0）個單位后，得到拋物線C₂，且C₂經(jīng)過點B（3，0），求k的值及C₂的解析式；
（3）設(shè)拋物線C₂角y軸于點D，點P是拋物線C₂的對稱軸上一點，且△PBD為直角三角形，求P點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知點的坐標(biāo)代入已知的函數(shù)的解析式即可利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式；
（2）首先根據(jù)平移確定平移后的函數(shù)的解析式，然后確定拋物線C₂的頂點坐標(biāo)；結(jié)合圖形確定n的取值范圍即可．
（3）設(shè)出點P的坐標(biāo)，表示出PB²，PD²，BD²，分三種情況用勾股定理計算即可．

解答 解：（1）∵拋物線C₁：y=a（x-1）²經(jīng)過點A（3，4）．
∴4=a（3-1）²，
解得a=1，

（2）拋物線C₁向下平移k（k＞0）個單位后，得到拋物線C₂，為y=（x-1）²-k，
∵C₂經(jīng)過點B（3，0），
∴0=（3-1）²-k，
解得：k=4，
∴C₂的解析式為y=（x-1）²-4；

（3）由（2）可知，拋物線的解析式為y=（x-1）²-4，
∴拋物線的對稱軸為x=1，
設(shè)點P（1，m），
令x=0，則y=-3，
∴D（0，-3），
∵B（3，0），
∴PB²=4+m²，PD²=1+（m+3）²，BD²=3²+3²=18，
∵△PBC為直角三角形，
①當(dāng)∠DPB=90°時，
∴PB²+PD²=BD²，
∴4+m²+1+（m+3）²=18，
∴m₁=1，m₂=-2，
∴P（1，1），或P（1，-2），
②當(dāng)∠PBD=90°時，
∴PB²+BD²=PD²，
∴18+4+m²=1+（m+3）²，
∴m=2，
∴P（1，2），
③當(dāng)∠PDB=90°時，
∴PB²=BD²+PD²，
∴4+m²=1+（m+3）²+18，
∴m=-4，
∴P（1，-4），
∴使△PBD為直角三角形的點P坐標(biāo)P（1，1）或P（1，-2）或P（1，2）或P（1，-4）．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，題目中還滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，這也是中考中常常出現(xiàn)的重要的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)加強(qiáng)此類題目的訓(xùn)練．