Question

20．定義：如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）滿足a+b+c=0．那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．
（1）已知ax²+bx+c=0（a≠0）是“鳳凰”方程．且有兩個相等的實數(shù)根．試求a與c的關(guān)系；
（2）已知關(guān)于x的方程m（x²+1）-3x²+nx=0是“鳳凰”方程，且兩個實數(shù)根都是整數(shù)．求整數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“鳳凰”方程得：a+b+c=0①，根據(jù)有兩個相等的實數(shù)根得△=0②，①②式結(jié)合得：a=c；
（2）先將原方程化簡為一般形式，再將x=1代入得：n=3-2m；計算△=9，所以方程有兩個不相等實根，且是整數(shù)，根據(jù)求根公式求出x的值，利用已知條件求出整數(shù)m的值．

解答 解：（1）由題意得：a+b+c=0，b=-a-c，
∵ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=b²-4ac=0，
把b=-a-c代入到b²-4ac=0中得：（-a-c）²-4ac=0，
（a-c）²=0，
∴a=c；
（2）m（x²+1）-3x²+nx=0，
（m-3）x²+nx+m=0，
當(dāng)x=1時，2m-3+n=0，n=3-2m，
△=n²-4m（m-3）=n²-4m²+12m=（3-2m）²-4m²+12m=9，
∴x=$\frac{-n±\sqrt{9}}{2（m-3）}$=$\frac{-n±3}{2m-6}$=$\frac{2m-3±3}{2m-6}$，
x₁=$\frac{m}{m-3}$，x₂=1，
因為方程兩個實數(shù)根都是整數(shù)，
∴整數(shù)m為0或2或4或6．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，也屬于新概念問題；給出一個新概念-“鳳凰”方程，根據(jù)“鳳凰”方程解決相應(yīng)問題；熟練掌握一元二次方程的求根公式，并熟知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．