Question

9．如圖，四邊形ABCD中，AB=3，BC=2，若AC=AD且∠ACD=60°，則對角線BD的長最大值為5．

Answer 1

分析 如圖，在AB的右側作等邊三角形△ABK，連接DK．由△DAK≌△CAB，推出DK=BC=2，因為DK+KB≥BD，DK=2，KB=AB=3，所以當D、K、B共線時，BD的值最大，最大值為DK+KB=5．

解答 解：如圖，在AB的右側作等邊三角形△ABK，連接DK．

∵AD=AC，AK=AB，∠DAC=∠KAB，
∴∠DAK=∠CAB，
在△DAK和△CAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=CA}\\{∠DAK=∠CAB}\\{KA=BA}\end{array}\right.$，
∴△DAK≌△CAB，
∴DK=BC=2，
∵DK+KB≥BD，DK=2，KB=AB=3，
∴當D、K、B共線時，BD的值最大，最大值為DK+KB=5．
故答案為5．

點評 本題考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質，三角形的三邊關系定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，所以中考填空題中的壓軸題．