Question

2．如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB，AD為BC邊上的中線，CG⊥AD于G，交AB于F，過點B作BC的垂線交CG于E．現(xiàn)有下列結(jié)論：①△ADC≌△CEB；②DF=CD；③∠ADC=∠BDF；④F為EG中點．其中結(jié)論正確的為（　�。�

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①③
• D． ①③④

Answer 1

分析 ①由條件可知∠ECD+∠ADC=∠E+∠ECD=90°，可得到∠E=∠ADC，再結(jié)合條件可證明△ADC≌△CEB；②AD為BC邊上的中線，得到BD=CD，得到∠AFB≠90°，求得DF≠CD，③BE=CD=BD，結(jié)合條件可證明△BEF≌△BDF，則有∠E=∠BDF=∠ADC，可得結(jié)論；④由③可得EF=DF，而DF＞FG，故F不可能為EG中點．

解答 解：∵∠BCA=90°，CG⊥AD，
∴∠ECD+∠ADC=∠E+∠ECD=90°，
∴∠E=∠ADC，
∵BE⊥BC，
∴∠EBC=∠ACD，
在△ADC和△CEB中$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{∠DAC=∠E}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴①正確；
∵AD為BC邊上的中線，
∴BD=CD，
∵AG⊥CE，
∴∠AFB≠90°，
∴DF≠$\frac{1}{2}$CB，
∴DF≠CD，
∴②不正確；
∵△ADC≌△CEB，且D為BC中點，
∴BE=CD=BD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠DBF=∠EBF=45°，
在△BEF和△BDF中$\left\{\begin{array}{l}{BE=BD}\\{∠DBF=∠EBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$
∴△BEF≌△BDF（SAS），
∴∠E=∠BDF，又∠E=∠ADC，
∴∠ADC=∠BDF，
∴③正確；
∵△BEF≌△BDF，
∴EF=DF，
在R△DFG中，DF＞FG，
∴EF＞FG，
∴F不是EG的中點，
∴④不正確；
綜上可知正確的有①③共兩個，
故選C．

點評 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解題的關(guān)鍵．