Question

19．已知：如圖，MN為⊙O的直徑，ME是⊙O的弦，MD垂直于過(guò)點(diǎn)E的直線DE，垂足為點(diǎn)D，且ME平分∠DMN．
求證：（1）DE是⊙O的切線；
（2）ME²=MD•MN．

Answer 1

分析 （1）求出OE∥DM，求出OE⊥DE，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）連接EN，求出∠MDE=∠MEN，求出△MDE∽△MEN，根據(jù)相似三角形的判定得出即可．

解答 證明：（1）∵M(jìn)E平分∠DMN，
∴∠OME=∠DME，
∵OM=OE，
∴∠OME=∠OEM，
∴∠DME=∠OEM，
∴OE∥DM，
∵DM⊥DE，
∴OE⊥DE，
∵OE過(guò)O，
∴DE是⊙O的切線；

（2）
連接EN，
∵DM⊥DE，MN為⊙O的直徑，
∴∠MDE=∠MEN=90°，
∵∠NME=∠DME，
∴△MDE∽△MEN，
∴$\frac{ME}{MD}$=$\frac{MN}{ME}$，
∴ME²=MD•MN

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．