Question

4．觀察下列等式：
第1個(gè)等式：a₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）．
第2個(gè)等式：a₂=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）．
第3個(gè)等式：a₃=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）．
第4個(gè)等式：a₄=$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）
…
①按以上規(guī)律寫(xiě)出第5個(gè)等式．
②用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式．
③求a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₅的值．
④當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n無(wú)限接近哪個(gè)數(shù)？為什么？

Answer 1

分析 ①②由等式可以看出分子是1，分母是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積，可以拆成以這兩個(gè)奇數(shù)為分母，分子是1的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差的$\frac{1}{2}$，由此規(guī)律得出答案即可；
③代入式子，拆分后計(jì)算即可；
④通過(guò)③的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，相加的數(shù)越多，數(shù)值越來(lái)越大，最后越來(lái)越接近$\frac{1}{2}$．

解答 解：①∵第1個(gè)等式：a₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$），
第2個(gè)等式：a₂=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），
第3個(gè)等式：a₃=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），
第4個(gè)等式：a₄=$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$），
∴第5個(gè)等式：a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）；
②第n個(gè)等式：a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）；
③a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₅
=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{4029×4031}$
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{4029}$-$\frac{1}{4030}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{4029}{4030}$
=$\frac{4029}{8060}$；
④當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n無(wú)限接近$\frac{1}{2}$；
因?yàn)樘崛?\frac{1}{2}$后，括號(hào)內(nèi)的數(shù)是1-$\frac{1}{2n+1}$越來(lái)越接近1，
所以當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，理解拆分?jǐn)?shù)字的變化，利用變化的規(guī)律解決問(wèn)題．