Question

20．已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+2x-k．
（1）與x軸總有一個交點，求k的取值范圍；
（2）若拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標為x₁、x₂，且滿足x₁²+x₂²=k²-k+6，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）令y=0找出關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)方程總與x軸有交點結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范圍；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=-4、x₁•x₂=-2k，結(jié)合x₁²+x₂²=k²-k+6即可得出關(guān)于k的一元二次方程，解方程得出k值，再結(jié)合（1）的結(jié)論確定k的值，將其代入拋物線解析式中即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當y=0時，有$\frac{1}{2}$x²+2x-k=0，
∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+2x-k與x軸總有一個交點，
∴△=2²-4×$\frac{1}{2}$×（-k）=4+2k≥0，
解得：k≥-2．
（2）∵若拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-4，x₁•x₂=-2k，
∵x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=16+4k=k²-k+6，
解得：k₁=$\frac{5+\sqrt{65}}{2}$，k₂=$\frac{5-\sqrt{65}}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+2x-$\frac{5+\sqrt{65}}{2}$或y=$\frac{1}{2}$x²+2x-$\frac{5-\sqrt{65}}{2}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）找出關(guān)于k的一元一次不等式；（2）求出關(guān)于k的一元二次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)拋物線與x軸的交點找出不等式（或方程）是關(guān)鍵．