Question

16．如圖，已知等邊△ABC的邊長為8，以AB為直徑的圓交BC于點(diǎn)F．以C為圓心，CF長為半徑作圖，D是⊙C上一動點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，當(dāng)AE最大時，BD的長為（　�。�

• A． $4\sqrt{3}$
• B． $4\sqrt{5}$
• C． $4\sqrt{3}+2$
• D． 12

Answer 1

分析 點(diǎn)D在⊙C上運(yùn)動時，點(diǎn)E在以F為圓心的圓上運(yùn)到，要使AE最大，則AE過F，連接CD，由△ABC是等邊三角形，AB是直徑，得到EF⊥BC，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CD∥EF，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：點(diǎn)D在⊙C上運(yùn)動時，點(diǎn)E在以F為圓心的圓上運(yùn)到，要使AE最大，則AE過F，
連接CD，∵△ABC是等邊三角形，AB是直徑，
∴EF⊥BC，
∴F是BC的中點(diǎn)，
∵E為BD的中點(diǎn)，
∴EF為△BCD的中位線，
∴CD∥EF，
∴CD⊥BC，
BC=8，CD=4，
故BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{64+16}$=4$\sqrt{5}$，
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了軌跡，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助圓是解題的關(guān)鍵．