Question

在△ABC中，點A在直線L上，BC平行于直線L，邊BC的長與BC邊上的高的和為8cm，設BC的長xcm．
（1）寫出△ABC的面積y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）當△ABC的面積為6cm²，且BC大于BC邊上的高時，求BC的長；
（3）當BC多長時，△ABC的面積最大？求出這個最大面積；此時，是否存在其周長最小的情形？如果存在，請求出其最小周長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應用

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式=底×高÷2就可以直接表示出y與x之間的關系式；
（2）先由題意求出x的取值范圍，再將y=6代入（1）的解析式就可以求出結論；
（3）將（1）的解析式化為頂點式就可以求出最大值，此時就可以求出BC的值，再由最短路徑問題作出點B關于l的對稱點E，連接CE交l于點F，△BCF的周長最�。�

解答：解：（1）∵BC+AD=8，BC=x，
∴AD=8-x．
∴y=

x(8-x)

2

=-

1

2

x²+4x．
∴y與x之間的函數(shù)關系式為：y=-

1

2

x²+4x；
（2）∵x＞8-x，
∴x＞4．
當y=6時，6=-

1

2

x²+4x，
解得：x₁=2，x₂=6．
∴x=6．
答：BC的長是6cm．
（3）∵y=-

1

2

x²+4x；
y=-

1

2

（x-4）²+8，
∴當x=4時，y_最大=8．
∴AD=4cm．
作點B關于l的對稱點E，連接CE交l于點F，
∴GB=GE=AD=4cm，EF=BF．
∴BE=4cm．
在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE=4

5

．
∵△BFE的最小周長為：BC+BF+CF=BC+EF+CF=BC+CE，
∴△BFE的最小周長為：（4+4

5

）cm．

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了三角形的面積公式的運用，二次函數(shù)的解析式的運用，一元二次方程的解法和頂點式的運用，軸對稱的性質(zhì)的運用，在解答第三問時靈活運用軸對稱的性質(zhì)是關鍵．