Question

13．在正方形ABCD中，E是BC邊上的點，F(xiàn)是CD邊上的點，且AE=AF，AB=4，設(shè)△AEF的面積為y，EC為長為x
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）當△AEF為正三角形時，求△AEF的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB，CE長度，利用S_△AEF=16-S_△ABE-S_△ADF-S_△CE即可解決．
（2）根據(jù)△AEF為正三角形時得∠BAE=15°，在AB上取一點M使得AM=ME，則∠MAE=∠AEM=15°，所以∠BME=30°，設(shè)BE=a，則AM=ME=2a，BM=4-2xa，在RT△MBE利用勾股定理即可求出a，進而得出EC，再利用（1）結(jié)論計算．

解答 解：（1）在RT△ABE和RT△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴RT△ABE≌RT△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵CE=x，AB=BC=CD=4
∴BE=4-x，
∴S_△AEF=16-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF
y=16-$\frac{1}{2}$×4×（4-x）-$\frac{1}{2}$×4×（4-x）-$\frac{1}{2}$x²
=-$\frac{1}{2}$x²+4x．
（2）∵△AEF是等邊三角形，
∴∠EAF=60°，
∵RT△ABE≌RT△ADF，∠BAD=90°
∴∠BAE=∠DAF=15°，在AB上取一點M使得AM=ME，則∠MAE=∠AEM=15°，
∴∠BME=30°，
設(shè)BE=a，則AM=ME=2a，BM=4-2xa，
在RT△MBE中，∵BM²+BE²=ME²，
∴（4-2a）²+a²=（2a）²，
∴a=8-4$\sqrt{3}$（或8+4$\sqrt{3}$不合題意舍棄）
∴x=EC=4-（8-4$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$-4
把x=4$\sqrt{3}$-4代入y=-$\frac{1}{2}$x²+4x得y=32$\sqrt{3}$-48，
∴△AEF的面積為32$\sqrt{3}$-48．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、直角三角形中30度角的性質(zhì)勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是15度角如何轉(zhuǎn)化為30度角，屬于中考�？碱}型．