Question

18．如圖，△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)M在AB上，AM=BC，作正方形CMDE，連接AD．
（1）求證：△AMD≌△BCM．
（2）點(diǎn)N在BC上，CN=BM，連接AN交CM于點(diǎn)P，試求∠CPN的大�。�
（3）在（2）的條件下，已知正方形CMDE的邊長為3，AP=2PN，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角的互余關(guān)系得出∠AMD=∠BCM，再由SAS即可證明△AMD≌△BCM；
（2）連接CD，證明四邊形ANCD是平行四邊形，即可得出∠CPN=∠DCM=45°；
（3）作NF⊥CM于F，設(shè)AM=a，AD=b，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，求出AN，再由AN=CD以及勾股定理即可求出AM、BM，從而得出AB．

解答 （1）證明：∵四邊形CMDE是正方形．
∴DM=CM，∠DMC=90°，
∴∠AMD+∠BMC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BMC+∠BCM=90°，
∴∠AMD=∠BCM，
在△AMD和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=CM}&{\;}\\{∠AMD=∠BCM}&{\;}\\{AM=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△BCM（SAS）；

（2）解：連接CD，如圖所示：
∵四邊形CMDE是正方形，
∴∠DCM=$\frac{1}{2}$∠ECM=45°，
∵△AMD≌△BCM，
∴∠DAM=∠B=90°，AD=BM，
∴AD∥BC，
∵CN=BM，
∴AD=CN，
∴四邊形ANCD是平行四邊形，
∴AN∥CD，
∴∠CPN=∠DCM=45°；

（3）解：設(shè)AM=a，AD=b，作NF⊥CM于F，如圖所示：則CN=AD=b，BC=AM=a，
∵sin∠AMD=$\frac{3}$，sin∠NCF=$\frac{FN}$，∠AMD=∠NCF，
∴$\frac{FN}=\frac{3}$，
∴FN=$\frac{^{2}}{3}$，
∵∠CPN=45°，
∴PN=$\sqrt{2}$FN=$\frac{\sqrt{2}^{2}}{3}$，
∴AP=2PN=$\frac{2\sqrt{2}^{2}}{3}$，
∴AN=AP+PN=$\sqrt{2}$b²，
∵四邊形DMCE是正方形，
∴CD=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴AN=CD=3$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$b²=3$\sqrt{2}$，解得：b=$\sqrt{3}$，
∵在Rt△ADM中，AM²+AD²=DM²，即a²+b²=9，
解得：a=$\sqrt{6}$，
∴AB=AM+BM=$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理、三角函數(shù)的運(yùn)用、平行四邊形的判定與性質(zhì)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（2）通過作輔助線證明平行四邊形得出結(jié)果；（3）通過設(shè)未知數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系和勾股定理得出方程，解方程求出結(jié)果．