Question

6．如圖所示，△ABC中，AB=AC，∠A=90°，D是BC的中點(diǎn)，P是BC上不同于D的點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
（1）求證：DE=DF；
（2）若點(diǎn)P在BC的延長線上，其他條件不變，DE與DF還相等嗎？若不相等，請(qǐng)說明理由；若相等，請(qǐng)給出證明．

Answer 1

分析 （1）連接AD，易證四邊形AEPF是矩形，可得EP=AF，即可求得AF=PE=BE，即可證明△FAD≌△EBD，可得結(jié)論；
（2）連接AD，易證四邊形AFPE是矩形，可得PF=AE，CF=FP，即可證明△AED≌△CFD，可得DE=DF．

解答 證明：（1）連接AD，
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四邊形AEPF是矩形，
∴EP=AF，
∵∠A=90°，AB=AC
∴∠CAD=∠B=45°，AD⊥BC，BD=CD，
∵PE⊥AB，
∴△BEP為等腰直角三角形，
∴PE=BE，
∴AF=PE=BE，
在△FAD和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BE}\\{∠FAD=∠B=45°}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△EBD（SAS），
∴DE=DF；
（2）連接AD，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四邊形AFPE是矩形，∴PF=AE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACD=∠CAD=45°，CD=AD，AD⊥BC，
∴∠DCF=∠DAE=135°，∠FCP=45°，
∴CF=FP，
在△AED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAD=∠FCD}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證三角形全等是解題的關(guān)鍵．