Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（0＜t≤15）．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．
（1）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）能．首先證明四邊形AEFD為平行四邊形，當(dāng)AE=AD時(shí)，四邊形AEFD為菱形，即60-4t=2t，解方程即可解決問(wèn)題；
（2）分三種情形討論即可．

解答 （1）證明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=4t，
∴DF=2t，
又∵AE=2t，
∴AE=DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE=DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形，
當(dāng)AE=AD時(shí)，四邊形AEFD為菱形，
即60-4t=2t，解得t=10．
∴當(dāng)t=10秒時(shí)，四邊形AEFD為菱形．     

（2）①當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，由（1）知四邊形AEFD為平行四邊形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
∵∠A=60°，
∴∠AED=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE=t，
又AD=60-4t，即60-4t=t，解得t=12；
②當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形，在Rt△AED中∠A=60°，則∠ADE=30°，
∴AD=2AE，即60-4t=4t，解得t=$\frac{15}{2}$．
③若∠EFD=90°，則E與B重合，D與A重合，此種情況不存在．
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{15}{2}$或12秒時(shí)，△DEF為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．