Question

15．探究：
將一個正方體表面全部涂上顏色，試回答：
（1）把正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開，得到27個小正方體，我們把僅有i個面涂色的小正方體的個數(shù)記為x_i，那么x₃=8，x₂=12，x₁=6，x₀=1；
（2）如果把正方體的棱四等分，同樣沿等分線把正方體切開，得到64個小正方體，與（1）同樣的記法，則x₃=8，x₂=24，x_l=24，x₀=8；
（3）如果把正方體的棱n等分（n≥3），然后沿等分線把正方體切開，得到n³個小正方體，與（1）同樣的記法，則x₃=8，x₂=12（n-2），x₁=6（n-2）²，x₀=（n-2）³．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖示：在原正方體的8個頂點(diǎn)處的8個小正方體上，有3個面涂有顏色；2個面涂有顏色的小正方體在每條棱的中間，共有12個；1個面涂有顏色的小正方體有6個，分布在每個面的中心；沒有涂上顏色的小正方體有1個，在原正方體的中心．
（2）根據(jù)圖示可發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)處的小方塊三面涂色，除頂點(diǎn)外位于棱上的小方塊兩面，涂色位于表面中心的一面涂色，而處于正中心的則沒涂色．
（3）由特殊推廣到一般即可得到n等分時所得小正方體表面涂色情況．

解答 解：（1）根據(jù)長方體的分割規(guī)律可得x₃=8，x₂=12，x₁=6，x₀=1．
故答案為8，12，6，1．

（2）把正方體的棱四等分時，頂點(diǎn)處的小正方體三面涂色共8個；有一條邊在棱上的正方體有24個，兩面涂色；每個面的正中間的4個只有一面涂色，共有24個；正方體正中心處的8個小正方體各面都沒有涂色．故x₃=8，x₂=24，x₁=24，x₀=8．
故答案為8，24，24，8．
（3）由以上可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：三面涂色x₃8個，兩面涂色x₂=12（n-2）個，一面涂色x₁=6（n-2）²個，各面均不涂色x₀=（n-2）³個．
故答案為8，12（n-2），6（n-2）²，（n-2）³．

點(diǎn)評 主要考查了立體圖形的認(rèn)識和用特殊歸納一般規(guī)律的方法．關(guān)鍵是通過正方體的特點(diǎn)來得到有關(guān)涂色情況的規(guī)律．