Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A（-3，0），B（0，1），C（m，n）．
（1）請直接寫出C點坐標(biāo)．
（2）將△ABC沿x軸的正方向平移t個單位，B′、C′兩點的對應(yīng)點、正好落在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$在第一象限內(nèi)圖象上．請求出t，k的值．
（3）在（2）的條件下，問是否存x軸上的點M和反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上的點N，使得以B′、C′，M，N為頂點的四邊形構(gòu)成平行四邊形？如果存在，請求出所有滿足條件的點M和點N的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，可證得△ADC≌△BOA，繼而求得C點坐標(biāo)；
（2）首先設(shè)向右平移了t個單位長度，則點B′的坐標(biāo)為（t，1）、C′的坐標(biāo)為（t-4，3），由B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上，即可得t=3（t-4），繼而求得m的值，則可求得各點的坐標(biāo)，于是得到結(jié)論；
（3）如圖2，當(dāng)MN為平行四邊形MC′NB′的對角線時，如圖3，當(dāng)MC′為平行四邊形MC′NB′的對角線時，如圖4，當(dāng)MB′為平行四邊形MC′NB′的對角線時，根據(jù)中點坐標(biāo)公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過點C作CD⊥x軸于點D，則∠ADC=∠AOB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵Rt△ABC，∠A=90°，
∴∠DAC+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
在△ADC和△BOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BOA}\\{∠ACD=∠BAO}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴AD=OB=1，CD=OA=3，
∴OD=OA+AD=4，
∴C點坐標(biāo)為：（-4，3）；

（2）設(shè)向右平移了t個單位長度，則點B′的坐標(biāo)為（t，1）、C′的坐標(biāo)為（t-4，3），
∵B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上，
∴t=3（t-4），
解得：t=6，
∴B′（6，1），C′（2，3），
∴k=6，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{6}{x}$；

（3）存在，如圖2，當(dāng)MN為平行四邊形MC′NB′的對角線時，
由平行四邊形的對角線互相平分，可知B′C′，MN的中點為同一個點，
即$\frac{3+1}{2}$=$\frac{{y}_{N}+0}{2}$，
∴y_N=4代入y=$\frac{6}{x}$得x_N=1.5，
∴N（1.5，4）；
∵$\frac{2+6}{2}$=$\frac{{x}_{M}+1.5}{2}$，
∴x_M=6.5，
∴M（6.5，0）；
如圖3，當(dāng)MC′為平行四邊形MC′NB′的對角線時，同理可得M（7，0），N（3，2）；
如圖4，當(dāng)MB′為平行四邊形MC′NB′的對角線時，同理可得M（-7，0），N（-3，2）；
綜上所述：存在M（6.5，0），N（1.5，4）或M（7，0），N（3，2）或M（-7，0），N（-3，2），使得以B′、C′，M，N為頂點的四邊形構(gòu)成平行四邊形．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題．考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式、平移的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．