Question

16．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC的上一動(dòng)點(diǎn)，作AF⊥DE交DE、DC分別于P、F點(diǎn)，連PC
（1）若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，求證：F點(diǎn)為DC的中點(diǎn)；
（2）若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，PE=6，PC=4$\sqrt{2}$，求PF的長(zhǎng)；
（3）若正方形邊長(zhǎng)為4，直接寫(xiě)出PC的最小值2$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 （1）由△ADF≌DCE，推出DF=CE，由EC=$\frac{1}{2}$BC，BC=DC，推出DF=$\frac{1}{2}$DC，即可證明F點(diǎn)為DC的中點(diǎn)；
（2）設(shè)PF=a，由△DPF∽△APD∽△ADF，推出PF：DP=DP：AP=DF：AD=1：2，推出DP=2a，AP=4a，AF=DE=5a，推出PE=3a=6，可得a=2，由此即可解決問(wèn)題；
（3）如圖2中，作△ADP的外接圓⊙H，連接CH，PH，EF．由∠EPF=∠ECF=90°，推出P、E、C、F在以EF為直徑的⊙O上，由PH+PC≥CH，PH=2，CH=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，即可推出C、P、H共線時(shí)，PC的值最��；

解答 （1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADC=∠C=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠APD=∠DPF=90°，
∴∠ADP+∠DAF=90°，∠ADP+∠EDC=90°，
∴∠DAF=∠EDC，
在△ADF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=EDC}\\{∠ADF=∠C}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌DCE，
∴DF=CE，
∵EC=$\frac{1}{2}$BC，BC=DC，
∴DF=$\frac{1}{2}$DC，
∴F點(diǎn)為DC的中點(diǎn)；

（2）解：如圖1中，設(shè)PF=a，
易知△DPF∽△APD∽△ADF，
∴PF：DP=DP：AP=DF：AD=1：2，
∴DP=2a，AP=4a，AF=DE=5a，
∴PE=3a=6，
∴a=2，
∴PF=2．


（3）解：如圖2中，作△ADP的外接圓⊙H，連接CH，PH，EF．

∵∠EPF=∠ECF=90°，
∴P、E、C、F在以EF為直徑的⊙O上，
∵PH+PC≥CH，PH=2，CH=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴C、P、H共線時(shí)，PC的值最小，最小值為2$\sqrt{5}$-2．
故答案為2$\sqrt{5}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用輔助圓，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，解決最值問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．