Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（3，4），B（5，0），C（0，-2）．在第一象限找一點(diǎn)D，使四邊形AOBD成為平行四邊形，
（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)是（8，4）；
（2）連接OD，線段OD、AB的關(guān)系是OD與AB互相垂直平分；
（3）若點(diǎn)P在線段OD上，且使PC+PB最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)A（3，4），B（5，0），得到OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，OB=5，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）連接AC交OD于點(diǎn)P，點(diǎn)P即是所求點(diǎn)，求得直線OD的函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{1}{2}$x；過點(diǎn)C、A的一次函數(shù)表達(dá)式為y=2x-2，解方程組即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖所示，D（8，4）；
故答案為：（8，4）；

（2）∵A（3，4），B（5，0），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，OB=5，
∴?AOBD是菱形，
∴OD與AB互相垂直平分；
故答案為：OD與AB互相垂直平分；

（3）連接AC交OD于點(diǎn)P，點(diǎn)P即是所求點(diǎn)，
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)O、D的函數(shù)表達(dá)式為y=k₁x+b，則有方程4=8k₁，
∴k₁=$\frac{1}{2}$，
∴直線OD的函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{1}{2}$x；
設(shè)過點(diǎn)C、A的一次函數(shù)表達(dá)式為y=k₂x+b，
則有方程組$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{3{k}_{1}+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{{k}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴過點(diǎn)C、A的一次函數(shù)表達(dá)式為y=2x-2，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱-最短距離問題，正確的理解題意即可得到結(jié)論．