Question

在平面直角坐標系中，點O是原點．直線l：y=-

4

3

x+

8

3

與x軸交于點A，過點B（-3，0）作BC⊥l，垂足為C，點D是直線BC上的一個動點；
（1）求直線與y軸的交點P的坐標和線段BC的長度；
（2）?①若CD=1，求點D的坐標；?
②過點D作直線m∥l，交x軸于點E，連接CE，當點D在線段CB上運動時，求出使得三角形CDE的面積最大時點D的位置；?
③在直線CB上是否存在點D使三角形CDE的面積等于

9

2

？若存在，請求出D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令x=0，求得y的值即可求得P的坐標，根據(jù)△ABC～△APO即可求得BC的長；
（2）根據(jù)直線l的解析式求得直線BC的斜率，根據(jù)斜率即可求得

OC

OB

=

3

4

，?

BE

BD

=

4

5

，

DE

BD

=

3

5

，然后再根據(jù)BD的長即可求得DE、BE，進而求得OE，從而求得D的坐標；分類討論：若點D在點C左邊，若點D在點C右邊兩種情況求解；
（3）分類討論即可求得．

解答：解：（1）令x=0，則y=

8

3

，
∴直線與y軸的交點P（0，

8

3

），
∵∠ACB=∠POA=90°，∠BAC=∠PAO，
∴△ABC～△APO，
∴

BC

OP

=

AB

AP

，
∵直線l：y=-

4

3

x+

8

3

與x軸交于點A，過點B（-3，0），
∴A（2，0），
∵OP=

8

3

，OA=2，AB=5，
∴AP=

OA2+OP2

=

10

3

，
∴

BC

8 3

=

5

10 3

，
∴BC=4；


（2）分類討論：
若點D在點C左邊，
∵CD=1，BC=4，
∴BD₁=3，
∵BC⊥l，直線l：y=-

4

3

x+

8

3

，
∴直線BC的斜率為

3

4

，
∴

OC

OB

=

3

4

，
∴sin∠OBC=

3

5

，cos∠OBC=

4

5

，
∴cos∠OBC=

BE1

BD1

=

4

5

，sin∠OBC=

D 1E1

BD1

=

3

5

，
∴BE₁=

12

5

，D₁E₁=

9

5

，
∴OE₁=OB-BE₁=

3

5

，
∴D1(-

3

5

，

9

5

)，
若點D在點C右邊，則BD₂=5，同理可證sin∠OBC=

D 2E2

BD2

=

3

5

，cos∠OBC=

BE2

BD2

=

4

5

，
所以D₂ E₂=3，BE₂=4，
∴OE₂=4-3=1，
∴D₂ （1，3）；


②如圖2所示，設(shè)CD=a，則BD=4-a，
∵m∥l，BC⊥l
∴BC⊥m
∴△BDE是直角三角形，
∵tan∠DBE=

3

4

，
∴DE=

3

4

BD=

3

4

（4-a），
∴S_△CDE=

1

2

•

3

4

（4-a）a=-

3

8

（a-2）²+

3

2

，
∴當a=2時△CDE的面積最大，
此時D（-

7

5

，

6

5

）；


③如圖3所示
當D在線段BC上時，由于△CDE的最大值是

3

2

，所以在線段BC上不存在這樣的D點，
當D在C的右側(cè)時，S_△CDE=

1

2

•

3

4

（a+4）a=

9

2

，
解得：a=2，此時D（

9

5

，

18

5

），
當D在B的左側(cè)時，S_△CDE=

1

2

•

3

4

（a-4）a=

9

2

，
解得：a=6，此時D（-

23

5

，-

6

5

）；

點評：本題是一次函數(shù)的綜合題，主要考查了直線與坐標軸的交點以及兩條直線垂直或平行的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，直角三角函數(shù)的應(yīng)用等，本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意考慮全面，分多種情況分類討論．