Question

3．某次初中數(shù)學競賽試題中，有16道5分題和10道7分題，滿分為150分．批改時每道題若答對得滿分，答錯得0分，沒有其它分值．
（1）如果曉敏同學答對了m道7分題和n道5分題，恰好得分為70分，列出關(guān)于m、n的方程，并寫出這個方程符合實際意義的所有的解．
（2）假設(shè)某同學這份競賽試卷的得分為k（0≤k≤150），那么k的值有多少種不同大小？請直接寫出答案．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)總分=分值×答對題目數(shù)即可得出7m+5n=70，即m=10-$\frac{5}{7}$n，再根據(jù)m、n均為非負整數(shù)，即可得出二元一次方程的解；
（2）設(shè)答對x道5分題和答對y道7分題時分數(shù)相等，即5x=7y，解之即可得出x、y的值，利用k=16×10-重復種數(shù)即可求出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：7m+5n=70，
∴m=10-$\frac{5}{7}$n．
∵m、n均為非負整數(shù)，
∴n=0時，m=10；n=7時，m=5；n=14時，m=0，
∴這個方程符合實際意義的所有的解為：$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=14}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=7}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=10}\\{n=0}\end{array}\right.$；

（2）設(shè)答對x道5分題和答對y道7分題時分數(shù)相等，
則5x=7y，
當x=7時，y=5；當x=14時，y=10．
∴當y=5時，重復的分數(shù)有16-7+1=10（種）；當x=7時，重復的分數(shù)有10-5=5（種）；當y=10時，重復的分數(shù)有16-7+1+16-14+1=13（種）；當x=14時，重復的分數(shù)有10-5+10-10=5（種）；
∴16×10-10-5-13-5=127（種）．
∴k的值有127種不同大小．

點評 本題考查了二元一次方程的應用以及排列與組合問題，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)m、n的取值范圍結(jié)合7m+5n=70找出所以可能解；（2）利用排列和組合的知識找出分值相等的重復次數(shù)．