Question

8．在平面直角坐標系中，在直線l₁：y=x-2上取點A，其橫坐標為t，以A為頂點的拋物線C₁與直線l₁相交于點B，如圖1，當點B在x軸上時，有AB=$\sqrt{2}$．
（1）求此時拋物線C₁的函數(shù)表達式．
（2）當A點移動時，過點A作x軸的平行線，交直線l₂：y=$\frac{1}{2}$x于點C，C為頂點的拋物線C₂：y=x²+mx+n與直線1₂的另一個交點為點D．
①求拋物線C₂的解析式．（用含t的式子表示）
②當AC⊥BD時，試求四邊形ABCD的面積．
③以A，B，D三點為頂點的三角形能否為等腰三角形，若能，求t的值；若不能，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意求出B（2，0）、A（3，1），利用頂點式即可解決問題．
（2）①根據(jù)題意用t表示點C的坐標，利用頂點式即可解決問題．
②由題意拋物線C₂在平移過程中，線段CD的長是不變的，取t=2，則拋物線C₂的解析式為y=x²，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，可得C（0，0），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），推出點C向右平移$\frac{1}{2}$個單位，再向上平移$\frac{1}{4}$的單位即可得到點D，由①可知C（2t-4，t-2），B（t-1，t-3）則D（2t-4+$\frac{1}{2}$，t-2+$\frac{1}{4}$），由AC⊥BD，AC∥x軸，推出B、D的橫坐標相等，可得t-1=2t-4+$\frac{1}{2}$，解方程即可解決問題．
③分三種情形列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵B（2，0），AB=$\sqrt{2}$，直線l₁與x軸成45°角，
∴A（3，1），
設拋物線C₁的解析式為y=a（x-3）²+1，
把（2，0）代入得到a=-1，
∴拋物線C₁的解析式為y=-（x-3）²+1，即y=-x²+6x-8．

（2）①設A（t，t-2），
∵AC∥x軸，點C在直線y=$\frac{1}{2}$x上，
∴y=t-2時，t-2=$\frac{1}{2}$x，
∴x=2t-4，
∴C（2t-4，t-2），
∵拋物線C₂的頂點為C，
∴拋物線C₂的解析式為y=（x-2t+4）²+t-2．

②由題意拋物線C₂在平移過程中，線段CD的長是不變的，取t=2，則拋物線C₂的解析式為y=x²，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴C（0，0），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），
∴點C向右平移$\frac{1}{2}$個單位，再向上平移$\frac{1}{4}$的單位即可得到點D，
由①可知C（2t-4，t-2），B（t-1，t-3）則D（2t-4+$\frac{1}{2}$，t-2+$\frac{1}{4}$），
∵AC⊥BD，AC∥x軸，
∴B、D的橫坐標相等，
∴t-1=2t-4+$\frac{1}{2}$，
∴t=$\frac{5}{2}$，
∴t=$\frac{5}{2}$時，AC⊥BD．
此時A（$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），C（1，$\frac{1}{2}$），D（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$），
∴AC=$\frac{3}{2}$，BD=$\frac{5}{4}$，
∴S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$•AC•BD=$\frac{15}{16}$．

③∵AB=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{（t-\frac{7}{2}）^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}}$，BD=$\sqrt{（t-\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{5}{4}）^{2}}$，
當AD=BD時，（t-$\frac{7}{2}$）²+（$\frac{1}{4}$）²=（t-$\frac{5}{2}$）²+（$\frac{5}{4}$）²，解得t=$\frac{19}{4}$．
當AB=AD時，t²-7t+$\frac{49}{4}$+$\frac{1}{16}$=2，解得t=$\frac{14±\sqrt{31}}{4}$，
當AB=BD時，t²-5t+$\frac{25}{4}$+$\frac{25}{16}$=2，解得t=$\frac{10±\sqrt{7}}{4}$，
綜上所述，當△ABD是等腰三角形時，t的值為$\frac{19}{4}$s或$\frac{14±\sqrt{31}}{4}$s或$\frac{10±\sqrt{7}}{4}$s．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的性質(zhì)、平移變換、等腰三角形的判定和性質(zhì)、四邊形的面積、兩點間距離公式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，本題的突破點是理解拋物線的頂點的平移過程中，線段AB、CD的長度不變，屬于中考壓軸題．