Question

15．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，D是等邊△ABC邊BA上一動點（點D與點B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊△DCF，連接AF．直接寫出線段AF與BD之間的數(shù)量關系．
（2）類比猜想：如圖②，當△ABC為以BC為斜邊的等腰直角三角形，D是△ABC邊BA上一動點（點D 與點B不重合），連接DC，以DC為斜邊在BC上方作等腰直角△FDC，連接AF． 請直接寫出它們的數(shù)量關系．
（3）深入探究：
Ⅰ．如圖③，當△ABC為以BC為底邊的等腰三角形，D是△ABC邊BA上一動點（點D與點B不重合），連接DC，以DC為底邊在BC上方作等腰△FDC，∠BC A=∠DCF，且∠BAC=α，連接AF．線段AF與BD之間的有什么數(shù)量關系？證明你發(fā)現(xiàn)的結論；
Ⅱ．如圖④，當△ABC為任意三角形，D是△ABC邊BA上一動點（點D與點B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方作△FDC∽△ABC，且$\frac{BC}{AC}$=k，連接AF．線段AF與BD之間的有什么數(shù)量關系？直接寫出你發(fā)現(xiàn)的結論．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質證明△FCA≌△DCB，得到線段AF與BD之間的數(shù)量關系；
（2）根據等腰直角三角形的性質證明△FCA∽△DCB，得到線段AF與BD之間的數(shù)量關系；
（3）Ⅰ、根據等腰三角形的性質和銳角三角函數(shù)的概念求出BC與AC的比，證明△BCD∽△ACF，得到線段AF與BD之間的數(shù)量關系；
Ⅱ、根據△FDC∽△ABC，證明△BCD∽△ACF，得到線段AF與BD之間的數(shù)量關系．

解答 解：（1）∵等邊△ABC，等邊△DCF，
∴FC=DC，AC=BC，∠FCA+∠ACD=∠BCD+∠ACD=60°，
∴∠FCA=∠DCB，
在△FCA和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CD}\\{∠FCA=∠DCB}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴△FCA≌△DCB，
∴BD=AF； 
（2）∵（1）∵△ABC是等腰直角三角形，△DCF是等腰直角三角形，
∴$\frac{FC}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{CB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{FC}{CD}$=$\frac{AC}{CB}$，
∠FCA+∠ACD=∠BCD+∠ACD=45°，
∴∠FCA=∠DCB，
∴△FCA∽△DCB，
∴$\frac{AF}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）Ⅰ．∵△ABC為以BC為底邊的等腰三角形，△FDC 為以DC為底邊的等腰三角形，
∠BCA=∠DCF，
∴△ABC∽△FDC，
∴$\frac{CD}{CF}$=$\frac{BC}{AC}$，∠ACF=∠BCD，
∴△BCD∽△ACF，
∴$\frac{BD}{AF}$=$\frac{BC}{AC}$，
如圖③，作AP⊥BC，
$\frac{BC}{AC}$=$\frac{2CP}{AC}$=2sin$\frac{1}{2}$∠BAC=2sin$\frac{1}{2}$α，
∴$\frac{BD}{AF}$=2sin$\frac{1}{2}$α；  
Ⅱ、∵△FDC∽△ABC，
∴$\frac{CF}{CA}=\frac{CD}{CB}$，∠FCA+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠FCA=∠DCB，
∴△FCA∽△DCB，
∴$\frac{BD}{AF}$=$\frac{BC}{AC}$=k．

點評 本題考查的是等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形的性質和全等三角形、相似三角形的判定和性質以及銳角三角函數(shù)的知識，正確運用類比思想、靈活運用所學的性質定理是解題的關鍵．