Question

14．在四邊形中ABCD，點(diǎn)E為AB邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)F為對(duì)角線(xiàn)BD上的一點(diǎn)，且EF⊥AB．
（1）若四邊形ABCD為正方形．
①如圖1，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE與DF的數(shù)量關(guān)系DF=$\sqrt{2}$AE；
②將△EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接AE，DF，猜想AE與DF的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，若四邊形ABCD為矩形，BC=mAB，其它條件都不變，將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，連接AE'，DF'，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出草圖，并直接寫(xiě)出AE'與DF'的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）①利用正方形的性質(zhì)得△ABD為等腰直角三角形，則BF=$\sqrt{2}$AB，再證明△BEF為等腰直角三角形得到BF=$\sqrt{2}$BE，所以BD-BF=$\sqrt{2}$AB-$\sqrt{2}$BE，從而得到DF=$\sqrt{2}$AE；
②利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABE=∠DBF，加上$\frac{BF}{BE}$=$\frac{BD}{AB}$=$\sqrt{2}$，則根據(jù)相似三角形的判定可得到△ABE∽△DBF，所以$\frac{DF}{AE}$=$\frac{BF}{BE}$=$\sqrt{2}$；
（2）先畫(huà)出圖形得到圖3，利用勾股定理得到BD=$\sqrt{1+{m}^{2}}$AB，再證明△BEF∽△BAD得到$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BF}{BD}$，則$\frac{BF}{BE}$=$\frac{BD}{BA}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$，接著利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，所以$\frac{BF′}{BE′}$=$\frac{BD}{BA}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$，然后根據(jù)相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性質(zhì)可得$\frac{DF′}{AE′}$=$\frac{BD}{BA}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$．

解答 解：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴BF=$\sqrt{2}$AB，
∵EF⊥AB，
∴△BEF為等腰直角三角形，
BF=$\sqrt{2}$BE，
∴BD-BF=$\sqrt{2}$AB-$\sqrt{2}$BE，
即DF=$\sqrt{2}$AE；
故答案為DF=$\sqrt{2}$AE；
②DF=$\sqrt{2}$AE．理由如下：
∵△EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，
∴∠ABE=∠DBF，
∵$\frac{BF}{BE}$=$\sqrt{2}$，$\frac{BD}{AB}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BF}{BE}$=$\frac{BD}{AB}$，
∴△ABE∽△DBF，
∴$\frac{DF}{AE}$=$\frac{BF}{BE}$=$\sqrt{2}$，
即DF=$\sqrt{2}$AE；
（2）如圖3，∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD=BC=mAB，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$AB，
∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BF}{BD}$，
∴$\frac{BF}{BE}$=$\frac{BD}{BA}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$，
∵△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，
∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，
∴$\frac{BF′}{BE′}$=$\frac{BD}{BA}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$，
∴△ABE′∽△DBF′，
∴$\frac{DF′}{AE′}$=$\frac{BD}{BA}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$，
即DF′=$\sqrt{1+{m}^{2}}$AE′．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似形的綜合題：熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形和正方形的性質(zhì)；靈活應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)，會(huì)利用相似比表示線(xiàn)段之間的關(guān)系．