Question

20．在△ABC中，AB=$4\sqrt{3}$，∠ABC=30°，BC=10，點P在直線AC上，點P到直線AB的距離為1，則CP的長為$\frac{8\sqrt{7}}{5}$或$\frac{12\sqrt{7}}{5}$．

Answer 1

分析 過點C作CD⊥AB交BA的延長線于點D，根據(jù)∠ABC的正弦和余弦可以求出CD、BD的長度，從而可以求出AD的長度，然后利用勾股定理即可求出AC的長度，再利用相似三角形對應邊成比例列式求出AP的長度，再分點P在線段AC上與點P在射線CA上兩種情況討論求解．

解答 解：如圖，過點C作CD⊥AB交BA的延長線于點D，
∵BC=10，∠ABC=30°，
∴CD=BCsin30°=5，
BD=BCcos30°=5$\sqrt{3}$，
∵AB=4$\sqrt{3}$，
∴AD=BD-AB=5$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△ACD中，AC=$\sqrt{{CD}^{2}{+AD}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
過P作PE⊥AB，與BA的延長線于點E，
∵點P在直線AC上，點P到直線AB的距離為1，
∴△APE∽△ACD，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{PE}{CD}$，
即$\frac{AP}{2\sqrt{7}}$=$\frac{1}{5}$，
解得AP=$\frac{2\sqrt{7}}{5}$，
∴①點P在線段AC上時，CP=AC-AP=2$\sqrt{7}$-$\frac{2\sqrt{7}}{5}$=$\frac{8\sqrt{7}}{5}$，
②點P在射線CA上時，CP=AC+AP=2$\sqrt{7}$+$\frac{2\sqrt{7}}{5}$=$\frac{12\sqrt{7}}{5}$，
綜上所述，CP的長為$\frac{8\sqrt{7}}{5}$或$\frac{12\sqrt{7}}{5}$．
故答案為：$\frac{8\sqrt{7}}{5}$或$\frac{12\sqrt{7}}{5}$．

點評 本題考查了解直角三角形，作出圖形，利用好30°的角構(gòu)造出直角三角形是解題的關鍵，要注意分情況討論，避免漏解．