Question

16．如圖，已知直線y=-2x+8和x軸、y軸分別交于B和A，直線l經(jīng)過點(diǎn)C（2，-4）和D（0，-3），向下平移1個(gè)單位后與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，直線AB和EF相交于P．
（1）求直線l的解析式；
（2）①求證：△AOB≌△EOF；
②判斷△APE的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，將C、D坐標(biāo)代入，求出k、b的值，繼而可求得解析式；
（2）①先求出直線向下平移1個(gè)單位后的解析式，得出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，根據(jù)AB解析式求出A、B坐標(biāo)，可得AO=EO，BO=FO，根據(jù)SAS證明△AOB≌△EOF；
②由①知△AOB≌△EOF，可得∠OAB=∠OEF，又根據(jù)OA=OE，得出∠OAE=∠OEA，可得∠PAE=∠PEA，最后判斷△APE是等腰三角形．

解答 解：（1）設(shè)y=kx+b，
將C、D坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-4}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
即y=-$\frac{1}{2}$x-3；
（2）①直線向下平移1個(gè)單位后解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-4，
∴E（-8，0），F(xiàn)（0，-4），
又∵直線y=-2x+8和x軸、y軸分別交于B和A，
∴A（0，8），B（4，0），
∴OE=OA=8，OF=OB=4，
在△AOB和△EOF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OE=OA}\\{∠EOF=∠AOB}\\{OF=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△EOF（SAS）；
②△APE是等腰三角形．
由①知△AOB≌△EOF，
∴∠OAB=∠OEF，
又OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OAB+∠OAE=∠OEF+∠OEA，
即∠PAE=∠PEA，
∴△APE是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式、平移的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定，知識(shí)點(diǎn)較多，難度適中．